La Verdadera Naturaleza de los Números Imaginarios

LA VERDADERA
NATURALEZA DE LOS
NÚMEROS IMAGINARIOS

“La verdad metafísica de la raíz cuadrada de −1 es elusiva” (Gauss)

Los números imaginarios son anfibios entre el ser y el no ser” (Leibniz)

La Interpretación de la Unidad Imaginaria i
La unidad imaginaria no es la raíz cuadrada de −1

Se suele afirmar que las soluciones de la ecuación x² = −1 son

siendo i un número “imaginario”, llamado así porque no existe ningún número real tal que su cuadrado sea −1.

Sin embargo, i no es la raiz cuadrada de −1. No lo es porque si √(−1) fuera una solución de la ecuación x² = −1, llegaríamos a una contradicción, si queremos que se cumpla siempre la propiedad x^r·y^r = (x·y)^r y, en particular, x^r·x^r = (x·x)^r :

Tampoco se cumple la propiedad (x^r)^s = (x^s)^r = x^r·s, es decir, los exponentes no son intercambiables. En efecto:

^1/2

Otra forma de llegar a la misma contradicción es la siguiente. Tenemos que i² = −1. Multiplicando ambos términos por −1, tenemos (−1)i² = 1. Extrayendo la raíz cuadrada en ambos lados, tenemos:

Por lo tanto, la expresión √(−1) no tiene ningún sentido, como tampoco tiene sentido calcular el cuadrado de una manzana o la raíz cuadrada de un coche. Por eso, en física se escribe i y no √(−1), por ejemplo, en la ecuación de Schrödinger y en la teoría de la relatividad.

La interpretación de George Spencer-Brown

George Spencer-Brown, en su libro “Las Leyes de la Forma” [1972], interpreta la unidad imaginaria de otra forma. La expresión x² = −1 la transforma en la expresión recursiva x = −1/x, que produce la secuencia temporal oscilante entre dos valores:

Afirma que, en dicha expresión recursiva, el único valor posible i de x es 1 o −1, por lo que la secuencia anterior se convierte en

1, −1, 1, −1, 1, −1. ... o bien su contraria:

−1, 1, −1, 1, −1, 1, ... Según este autor:

i representa la dimensión tiempo, pues la expresión del tiempo más representativa es el “tic-tac” del reloj, es decir, la oscilación permanente entre dos estados: −1 ⇔ 1
Percibimos el tiempo porque algo cambia o se transforma. Percibimos el espacio porque algo coexiste con algo, con lo próximo.

La expresión oscilante anterior tiene la misma estructura que la famosa paradoja del mentiroso.

La Interpretación en MENTAL
La interpretación correcta de la unidad imaginario es muy sencilla. La expresión i² = −1 se debe interpretar como un caso particular de expresión imaginaria, es decir, una expresión de sustitución en la que la parte izquierda es una expresión algebraica. En este caso, i es una entidad cuyo cuadrado se evalúa como −1. Esta interpretación permite definir todo tipo de números imaginarios, así como números imaginarios de orden superior. Y, en general, expresiones imaginarias y expresiones imaginarias de orden superior.


(i*i = −1)  // definición de la unidad imaginaria i



(j*j = −i)  // definición de un número imaginario de orden 2



(k*k = −j)  // definición de un número imaginario de orden 3

...

De forma genérica, llamando i/n a la unidad imaginaria de orden n:


⟨( (i/n)*(i/n) = i/(n−1) )⟩


(i/1 = −1)


(i/2 = i)  // unidad imaginaria

El hecho de considerar al número −1 como imaginario, enlaza con la antigua creencia de que los números negativos eran imaginarios [ver Adenda].

Durante siglos se ha especulado con la misteriosa naturaleza de los números imaginarios. El gran Gauss (en 1825) afirmaba: “La verdadera metafísica de la raíz cuadrada de −1 es elusiva”. Primero se le dio una interpretación geométrica (Wallis, Wessel, Argand y el propio Gauss): los números imaginarios como una dimensión diferente a la recta real. Otros autores (Cauchy, Hamilton) dieron una interpretación puramente algebraica.

La interpretación como expresión imaginaria (en el sentido de MENTAL, es decir como sustitución), proporciona además un marco unificador en el que entran los números imaginarios y el infinitésimo, este último también definido mediante una expresión imaginaria: ε*ε = 0.

De la misma manera que de la expresión ε² = 0 no tiene sentido inferir que ε = √(0) = 0, no podemos inferir que i² = −1 sea i = √(−1) porque i² = −1 no es una ecuación, sino una sustitución.

Números complejos

Los números complejos tienen la forma a + b*i, siendo a y b números reales. Se generalizan así los números reales, pues cuando b es cero, tenemos los números reales, y cuando a es cero, tenemos los números imaginarios.

Los números complejos se pueden representar en un plano (el plano complejo), estando en el eje horizontal los números reales y en el vertical los imaginarios. Podemos representar, si lo deseamos, un número complejo por sus dos coordenadas (r1 y r2) y definir, por ejemplo:

⟨( c(r1 r2) = (r1 + r2*i) )⟩

Algunas propiedades de los números complejos

( c(0 1)^2 = −1 ) // definición de i
⟨( (c(r1 r2) + c(r3 r4)) = (c(r1+r3 r2+r4) )⟩ // suma
⟨( (c(r1 r2) * c(r3 r4)) = (c((r1*r3 – r2*r4) (r1*r4 + r2*r3) ) )⟩ // producto
⟨( (cx(r1 r2) = c(r1 -r2) )⟩ // conjugado de un número complejo
⟨( (c(r1 r2) * cx(r1 r2)) = (r1^2 + r2^2) )⟩
⟨( (c(r1 r2) * (1 0) = c(r1 r2) )⟩
⟨( (c(r1 r2) * (0 1) = c(−r2 r1) )⟩
⟨( Norma(c(r1 r2)) = ((r1^2 + r2^2)^v2) )⟩ // norma de un número complejo
⟨( Norma(c(r1 r2)*c(r3 r4)) ≡ Norma(c(r1 r2))*Norma(c(r3 r4)) )⟩ // el cuadrado de la norma del producto es el producto de las normas
⟨( Norma(c(r1 r2)) ≡ c(r1 r2)*cx(r1 r2) )⟩ // la norma de un complejo es el producto del complejo por su conjugado
⟨( c(r1 r2)÷c(r3 r4) = (p+s)÷q/( p=(r1*r3 + r2*r4) s=(r2*r3 – r1*r4) q=(r3*r3 + r4*r4) )⟩ // división entre complejos

Adenda
Números negativos como números imaginarios

Hubo un tiempo en el que los números negativos se consideraron imaginarios. Por ejemplo, la ecuación x+3 = 0 no tiene como solución ningún número natural. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente. Su introducción fue extraordinariamente lenta, debido a un cierto rechazo a considerarlos como números. Solo se admitían las cantidades negativas (asociadas por ejemplo a deudas). Fue a finales del siglo XVIII cuando los números negativos fueron aceptados universalmente.

Cuaterniones

Inventados (o descubiertos) por Hamilton, los cuaterniones son una generalización de los números complejos, con una parte real y tres imaginarias, con la definición siguiente (puramente algebraica):

i² = j² = k² = ijk = −1

(q = t + ui + vj + wk) (un cuaternión)

(q' = t – ui – vj – wk) (conjugado de q)

(qq' = t² + u²+ v² + w²) (propiedad similar a la de los complejos)

Los cuaterniones tienen inversos también, como los números complejos.

En 1897, A.S. Hathaway extendió formalmente las ideas de Hamilton al pasar de considerar los cuaterniones como 4 números reales a la idea de 4 dimensiones espaciales.

En 1843, John Graves descubrió que existe un tipo de cuaternión doble (octoniones). Fueron redescubiertos por Arthur Cayley en 1845.

No hay una generalización satisfactoria de los octoniones a dimensiones superiores.

Historia de los números imaginarios

Gerolamo Cardano descubrió los números imaginarios en general en su tratado Ars Magna (1545), al tratar de la imposibilidad de dividir el número 10 en dos partes tales que su producto fuera 40, llegando a las expresiones “imposibles” 5+√(−15) y 5−√(−15).
La unidad imaginaria fue descubierta por Rafael Bombelli en su Algebra (1572), al resolver la ecuación cúbica mediante la raíz cuadrada de −1.
En 1673, John Wallis en su Algebra interpreta los números imaginarios como una nueva dimensión del plano, diferente de la recta real. Su idea fue ignorada.
En 1797 Caspar Wessel presentó un informe a la Academia Danesa de Ciencias con la interpretación geométrica de los números complejos.
En 1806, Jean-Robert Argand, de manera independiente de Wessel, publicó un ensayo sobre la interpretación geométrica de los números complejos.
En 1811, Gauss, también de forma independiente, tuvo la idea de que los números complejos se podian considerar puntos de un plano. Fue Gauss acuñó el término “complejo” para referirse a números con una parte real y otra imaginaria, asociándolos a puntos del plano.
Descartes llamaba “imaginarias” a las expresiones en las que aparecían raíces cuadradas de números negativos, lo que indicaba la ausencia de soluciones.
Newton llamó “imposibles” a este tipo de números. También, como Descartes, pensaba que indicaba la ausencia de soluciones.
Leibniz consideró a la raíz cuadrada de la unidad negativa como algo entre el ser y el no ser, entre la realidad y la fantasía.
Euler influyó para legitimar los números imaginarios e incorporarlos al campo de las matemáticas, descubriendo muchas de sus sorprendentes propiedades. Euler introdujo el símbolo i en 1777, pero no apareció publicado hasta 1794.
Para Cauchy, la unidad imaginaria debe considerarse algo de lo que solo conocemos que su cuadrado es 1.
En 1837, William Rowan Hamilton ignora la interpretación geométrica y reduce los números complejos a pura álgebra (parece ser que Gauss tuvo la misma idea en 1831). Por ejemplo, si i = (0, 1), i*i = (−1, 0).
En 1905, Einstein introdujo i en su formulación de la teoría de la relatividad especial. Añadió al espacio de tres dimensiones, una cuarta dimensión imaginaria dada por el producto ict, siendo c la velocidad de la luz y t el tiempo.
En 1920, el físico Edwin Schorödinger introdujo i en su ecuación de ondas. Supone la confirmación de que la naturaleza trabaja con números complejos, además de con reales.
Gordon Spencer-Brown en su “Leyes de la Forma” [1972] sugiere considerar i como un oscilador entre los números 1 y −1 y generador de la dimensión tiempo.

Bibliografía

Kauffman, Louis H. Virtual Logic - Infinitesimals and Zero Numbers. Internet.
Kauffman, Louis H. Time, Imaginary Value, Paradox, Sign and Space. Internet.
Marks-Tarlow, Terry. The Observer and Observed: Fractal Dynamics of Re-entry. Internet.
Nahin, Paul J. An Imaginary Tale. The Story of “i” [the square root of minus one]. Princeton University Press, 2007.
Spencer-Brown, George. Laws of Form. Julian Press, New York, 1972.
Stewart, Ian. De aquí al infinito. Capítulo 11: Cómo resolver una raíz cuadrada imposible. Editorial Crítica, Colección Drakontos, 1998.
Mazur, Barry. Imaging numbers (Particularly the square root of minus fifteen). Penguin Books, 2003.